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# 全向轮整车动力学建模
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本模型假设各轮子与地面摩擦力一致且不会打滑，机体一定与地面水平。理论上能够通过力控3508实现对车辆速度控制，一定程度上避免速度环PID控制调参不够完美带来的四轮运动不统一问题。
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## 1.1模型定义
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<img src="assets/35427a96f24cc44d0f35d6b5ed2f6387.png" alt="35427a96f24cc44d0f35d6b5ed2f6387" style="zoom: 25%;" />
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首先仅考虑x方向移动，机器人抽象为方形机体和圆形驱动轮。假设有神秘力量保证机体一定水平。
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变量与参数定义如下表所示
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| 符号 | 含义 | 正方向 | 单位 |
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| :------: | :----------------: | :-------: | :---: |
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| $x$ | 机体位移 | 箭头所示 | m |
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| $N$ | 驱动轮对机体的力 | 箭头所示 | N |
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| $N_f$ | 地面对驱动轮摩擦力 | 箭头所示 | N |
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| $F_x$ | 虚拟的驱动轮输出力 | 方向同$x$ | N |
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| $T$ | 驱动轮输出力矩 | 方向同$x$ | N·m |
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| $\omega$ | 绕质心转动角速度 | 逆时针 | rad/s |
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| 符号 | 含义 | 单位 |
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| :---: | :----------------: | :------: |
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| $m$ | 驱动轮转子质量 | kg |
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| $M$ | 机体质量 | kg |
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| $I_w$ | 驱动轮转资转动惯量 | $kg·m^2$ |
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| $I$ | 机体绕质心转动惯量 | $kg·m^2$ |
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## 1.2经典力学分析
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首先只考虑x方向移动
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### 对驱动轮：
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m\ddot{x}=N_f-N \tag{1}
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I\frac{\ddot{x}}{R}=T-N_fR \tag{2}
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合并上两式子，消去$N_f$得：
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\ddot{x} = \frac{T-NR}{\frac{I_w}{R}+mR} \tag{3}
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### 对机体：
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N=M\ddot{x}\tag{4}
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（3），（4）式子可求得：
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\ddot{x} = \frac{1}{\frac{I_w}{R}+(m+M)R}T \tag{5}
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（5）看作 $\ddot{x}$ 关于 $T$ 的函数两侧积分：
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\dot{x} = \frac{1}{2}\frac{1}{\frac{I_w}{R}+(m+M)R}T^2 \tag{6}
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设虚拟力：
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F_x = \frac{T}{R}\tag{7}
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（7）带入（6）得：
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\dot{x} = \frac{1}{2}\frac{R^2}{\frac{I_w}{R}+(m+M)R}F_x^2 \tag{6}
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$$
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得到x方向上速度与驱动轮输出力的关系，同理可得y方向上的表达式，参考全向轮速度分解，到每个轮子电机的输出力上。
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### 旋转：
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F_{yaw} = I\frac{\omega}{L}
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其中$L$为轮子转轴中心到车辆转轴中心水平距离。
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再将 $F_{yaw}$ 也叠加到各个电机输出上即可。
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由于电机输出力矩与电流正相关，即可实现力控。具体结果公式参见手稿。
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