# 全向轮整车动力学建模

本模型假设各轮子与地面摩擦力一致且不会打滑，机体一定与地面水平。理论上能够通过力控3508实现对车辆速度控制，一定程度上避免速度环PID控制调参不够完美带来的四轮运动不统一问题。

## 1.1模型定义

<img src="assets/35427a96f24cc44d0f35d6b5ed2f6387.png" alt="35427a96f24cc44d0f35d6b5ed2f6387" style="zoom: 25%;" />

首先仅考虑x方向移动，机器人抽象为方形机体和圆形驱动轮。假设有神秘力量保证机体一定水平。

变量与参数定义如下表所示

|   符号   |        含义        |  正方向   | 单位  |
| :------: | :----------------: | :-------: | :---: |
|   $x$    |      机体位移      | 箭头所示  |   m   |
|   $N$    |  驱动轮对机体的力  | 箭头所示  |   N   |
|  $N_f$   | 地面对驱动轮摩擦力 | 箭头所示  |   N   |
|  $F_x$   | 虚拟的驱动轮输出力 | 方向同$x$ |   N   |
|   $T$    |   驱动轮输出力矩   | 方向同$x$ |  N·m  |
| $\omega$ |  绕质心转动角速度  |  逆时针   | rad/s |

| 符号  |        含义        |   单位   |
| :---: | :----------------: | :------: |
|  $m$  |   驱动轮转子质量   |    kg    |
|  $M$  |      机体质量      |    kg    |
| $I_w$ | 驱动轮转资转动惯量 | $kg·m^2$ |
|  $I$  | 机体绕质心转动惯量 | $kg·m^2$ |

## 1.2经典力学分析

首先只考虑x方向移动

### 对驱动轮：

$$
 m\ddot{x}=N_f-N  \tag{1}
$$
$$
I\frac{\ddot{x}}{R}=T-N_fR  \tag{2}
$$

合并上两式子，消去$N_f$得：
$$
\ddot{x} = \frac{T-NR}{\frac{I_w}{R}+mR} \tag{3}
$$

### 对机体：

$$
N=M\ddot{x}\tag{4}
$$

（3），（4）式子可求得：
$$
\ddot{x} = \frac{1}{\frac{I_w}{R}+(m+M)R}T \tag{5}
$$
（5）看作 $\ddot{x}$ 关于 $T$ 的函数两侧积分：
$$
\dot{x} = \frac{1}{2}\frac{1}{\frac{I_w}{R}+(m+M)R}T^2 \tag{6}
$$
设虚拟力：
$$
F_x = \frac{T}{R}\tag{7}
$$
（7）带入（6）得：
$$
\dot{x} = \frac{1}{2}\frac{R^2}{\frac{I_w}{R}+(m+M)R}F_x^2 \tag{6}
$$
得到x方向上速度与驱动轮输出力的关系，同理可得y方向上的表达式，参考全向轮速度分解，到每个轮子电机的输出力上。

### 旋转：

$$
F_{yaw} = I\frac{\omega}{L}
$$

其中$L$为轮子转轴中心到车辆转轴中心水平距离。

再将 $F_{yaw}$ 也叠加到各个电机输出上即可。

由于电机输出力矩与电流正相关，即可实现力控。具体结果公式参见手稿。